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垛积比类

四卷。清李善兰(详见《方圆阐幽》撰。这是自朱世杰《四元玉鉴》之后讨论高阶等差级数求和的最优秀的著作,也是李善兰的代表作。自序中不详撰著年月,当代中算史家李俨、钱宝琮认定其时当在1859年之后,而李迪则认为应在1853-1859年写成的。《垛积比类》为研究各类垛积问题专著,属现代组合数学之范围。李善兰自称该书是他得意杰作,在卷一中他说:“今所述,有表有图有法,分条别派,详细言之,欲令习算家知垛积之术,于《九章》外别立一帜,其说自善兰始。”全书四万五千字,图、表各占,文字部分为定义、定理、演草,总共给出各类式四百余则,无一应用题。以传统方式叙述,结构严谨,条理清楚,每一卷除图外可分为四个部分:(1)表和造表法。全书共有十五张垛积表,其中基本垛表六张,支垛表七张,系数表二张,是按不同方式对贾宪三角形的推广。每张表下均给出其造法,多为递归定义。(2)解和草。全书列举了五十七个具体垛的定义式,分别与表和造表法定义的各垛相当,亦具推导和演草的性质。(3)有高(层)求积术。这是全书的中心部分,给出了各种求前n项和公式124个,其中包括一批重要定理。(4)有积求高(层)术。这为前一部分逆问题,约占全书一半,给出100个方程式及112则列方程的草式,方程次数有的高达10次,最大系数为10!。书中所有定理均由归纳或推导而得,无演绎证明,但其结果全都正确。全书四卷,各自成章,每卷都构造了一个垛积体系。卷一是朱世杰的三角垛及其派生的各支垛,并对朱世杰三角垛求和公式加以推广;卷二为乘方垛及各支垛,讨论了当p为任何正整数时,级数1+2p+3p+…+np的求和公式;卷三为三角自乘垛和各支垛,并创立了著名的“恒等式”:。其中是二项式定理系数。卷四讨论的三角变垛是朱世杰的岚峰形垛以及三角再变垛、三角三变垛的求和公式。《垛积比类》以表为纲,全书的内容均建立在表的基础上,造表的方法最主要的一是改变“表根”(即初始条件),二是利用递推公式计算表内(不含最外侧两斜行)各数而得。值得注意的是“三角垛有积求高开方廉隅表”,其中各数以记之,另一为“乘方垛各廉表”,各数以表示。这两表分别是两类方程的系数表,与被称为“李善兰数”,与现代组合数学中的第一种斯特灵数与欧拉数关系十分密切,李善兰通过独立研究,获得了大批成果,有些工作超过了国外的同类工作。自1867年之后的40年平均每两年出版一种垛积术著作,可见《垛积比类》影响之大。当代数学家图兰帕尔(匈牙利,1910-1976)、华罗庚(1910-1985)还为“李善兰恒等式”给出了证明。李善兰的《垛积比类》是早期组合数学的杰出著作。该书的版本主要有:《则古昔斋算学》本,有现藏北京图书馆的1867年金陵刊本和积山书局石印本,并有现藏故宫博物院的1882年江宁藩署刊本;《古今算学丛书》本,现藏北京、北大、清华、浙江、湖南各处的图书馆及中科院自然科学史研究所。

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