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方圆阐幽

一卷。清李善兰(1811-1882)撰。李善兰字壬叔,号秋纫,浙江海宁人。他自幼聪颖好算,十岁读《九章》,无师自通,以后又学《几何原本》前六卷、《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》,颇有所得,他说:“善兰自束发学算,三十后所学渐深。”(《天算或问》卷一)三十五岁去嘉兴,与浙江学者顾观光、汪曰桢等交往甚多,切磋算学,并有著述。四十一岁到上海与伟烈亚力合作翻译西文数学书,八年间译成八种八十余卷。1860年任苏州徐有壬幕宾,1863年去安庆留任曾国藩军中多年,1868年到北京同文馆任算学总教习,官至郎中,但他专注教学,潜心思考,颇多建树,他在尖锥术、垛积术、数根术方面独步中算成一家之言;还兼收并蓄,于微积分、数论、组合数学诸领域颇有创见。先后著有《四元解》二卷(1845)、《方圆阐幽》一卷(1845)、《弧矢启秘》二卷(1845)、《对数探源》二卷(1845)、《麟德术解》三卷(1848)、《椭圆正术解》二卷、《椭圆新术》一卷、《椭圆拾遗》三卷、《火器真诀》一卷(1858)、《垛积比类》四卷、《尖锥变法解》一卷、《级数回求》一卷、《天算或问》一卷。以上十三种由曾国藩捐金三百于1867年刻成《则古昔斋算学》。他还著《九容图表》、《考数根法》三卷(1872)。译著有《几何原本》后九卷(1858)、《代微积拾级》十八卷(1859)、《代数学》十三卷(1859)、《圆锥曲线说》三卷(1866)、《奈端数理》(未译完),另有《谈天》、《重学》、《植物学》等。《方圆阐幽》是李善兰关于幂级数的研究成果之一,阐述了尖锥求积术,并以圆积为例说明尖锥术之应用。该书给出了十条“当知”作为尖锥术的基本原理:前三条讲点线面体之间的关系,是关于无限小几何元素的基本假设,如“点者体之小而微者也,线者体之长而细者也,面者体之阔而薄者也”(当知第一)“体可变为面,面可变为线”,“为面便可如纸之薄,为线便可如丝之细”。(当知第二)第四条“当知诸乘方皆可变为面,并皆可变为线”。后六条专讲尖锥:第五条“当知平立尖锥之形”,其包括平方正尖锥、平方偏尖锥、正立尖锥与偏立尖锥;第六条“当知诸乘方皆有尖锥”,第七条“当知诸尖锥有积迭之理”,即当x由0变动到h时,所有的xn表示的平面面积积迭成一个尖锥体,当n取不同值便得各乘尖锥体;第八条“当知诸尖锥之算法”,李善兰解释:“以高乘底为实,本乘方数加一为法除之得尖锥积。”相当于定积分的结果。第九条:“当知二乘以上尖锥其所迭之面,皆可变为线”,即axn可以用一直线段表示;第十条“当知诸尖锥既为平面则可并为一尖锥”,即同高的平面尖锥的面积和等于它们合并后的尖锥面积。以上十条为《方圆阐幽》中李善兰尖锥术的基本理论,虽不十分严谨,但他的独具匠心的妙悟已达到了某些积分的结果,具有启蒙之意义。接下来他以“方圆之理,方内函圆,方圆之较”为例说明尖锥术原理之应用:在单位圆外做外切正方形,方内圆外部分构成四个全等的尖锥,他对其中一个尖锥之底反复对分,得到无穷多个尖锥,运用第八条当知求得这一系列尖锥面积,“既得诸积,四因之,以减外大方积,便见大圆真积也”。李善兰在西方微积分传入之前,通过独立探索,获得了一系列重要成果,形成清末中算发展的高峰。《方圆阐幽》版本有:《则古昔斋算学》(1867)本,现藏北京图书馆与苏州图书馆;《续艺海珠尘》本;《丛书集成初编》本等。

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