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积求勾股法

一卷。清爱新觉罗·玄烨(1654-1722)撰。玄烨即康熙皇帝,在位六十一年(1662-1722)。康熙三年(1664)朝中发生了一件中西历法之争,对年幼的玄烨影响很大,他说:“朕幼时,钦天监汉官与西洋人不睦,互相参劾,几至大辟。杨光先、汤若望于午门外九卿前当面睹测日影。奈九卿中无一知其法者。朕思,己不知焉能断人之是非,因自愤而学焉!”于是玄烨开始学习西方数学,法国传教士白晋(1656-1730)、张诚(1654-1707)入宫为他讲授欧氏几何学或理学、天文学,康熙帝成为我国历史上最有数学素养的封建皇帝,并主持编写了大型历算书《律历渊源》。玄烨自己也写有《三角形论》及《积求勾股法》。据当代学者李培业考证,《积求勾股法》当完成于1713年之前。此书单独成篇,装订在清数学家陈厚耀(1648-1722)《勾股图解》之前。全篇十二页,计3300字,系原稿誊正本。《积求勾股法》专论求解正勾股(即与“勾三、股四、弦五”勾股形成比例的整勾股形)问题。全书内容分为三部分:首先列出勾股和较诸定率十八项;然后给出两条用法:(1)“以今所设之数为实,取定率内与所设数同名之率为法,法除实得数,以勾率乘之得勾,以股率乘之得股,以弦率乘之得弦。”(2)“若所设者为积数,以积率六除之,平方开之,得数。再以勾、股、弦各率乘之,即得勾、股、弦之数。”最后举出二十三个问题解答,以明此法之用。其体例依题、草、解次序列之。比如:“有弦实一百尺,求股。置弦实一百尺,以股实率十六乘之,得一千六百尺,又以弦实率二十五除之,得六十四尺,平方开之,得股八尺。解曰:弦实内兼有勾、股两实,而股应得二十五分之十六,勾应得二十五分之九,今欲求股,故以股率乘之,弦实除之而得股实,故开方得股也。”其二十三个问题可分为五类:1.已知正勾股和较十三事之一,求勾股;2.已知正勾股的勾或股,求内容圆径;3.已知勾实、股实、弦实之一,或其两者三者之和,求勾、股;4.已知正勾股积,求勾、股;5.已知正勾股内容圆径,求勾、股。这些问题的解法保留有中算特色。不同于《数理精蕴》中同类问题的解法。从上述之例解法可以看出,《积求勾股法》颇类《九章》粟米之法的今有术,而《数理精蕴》下编卷十三“正勾股比例”内容与《积求勾股法》相当,但其所用方法为西洋数学中的四率比例法与面积比例法,显然代表了中西算法迥异的风格。对此种中算风格方法,陈厚耀大加赞赏:“谨案隶首作《九算》而终之以勾股,非后之也。以其理甚精微,算之不易。其为术也,必先知二数,方可相求。又多用开方。一遇和较,非带纵减纵诸法不能御。取数繁重,学者畏之。今用定率法,以乘除代开方。又得一数,即知其他。其神妙简易,直古今所未发,中西所未有也。《周髀算经》但言勾三、股四、弦五,于兹益信。”这个评价是有一定道理的。《积求勾股法》经过修改后收入《数理精蕴》之内。当代学者李培业对该书作了深入的研究,其结果为《论康熙数学著作〈积求勾股法〉》(载《数学史研究文集第四辑》)。《积求勾股法》版本有《陈厚耀算书》本,现藏李倍业处。

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